Solucionario matematicas 2 bachillerato anaya pdf

Eleva al cuadrado y llega a una contradiccin. Supongamos que no es irracional. Lo mismo ocurre con q 2. Por tan- to, en 2q 2 el exponente de 2 es un nmero impar. De ser as, no se podra cumplir la igualdad. Por tanto, no puede ponerse en forma de fraccin. No es racional. Obtn el valor de F teniendo en cuenta que un rectngulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectngulo que resulta de suprimirle un cuadrado. Nmeros reales 2 Pgina 28 1. Sita los siguientes nmeros en el diagrama: ; 5; 2; 4,5; 7, 3; ; ; ; 2.

Sita los nmeros del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada n- mero puede estar en ms de una casilla. Aade un nmero ms de tu cosecha en cada casilla. Nmeros reales 4 Pgina 31 1. Cul es mayor, o? Nmeros reales 6 Pgina 33 9. Aplica la propiedad para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a log 2 b log 5 c log d log 40 En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciacin. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes medi- ciones: a La superficie de esta casa es de 96,4 m 2.

Nmeros reales 10 Pgina 39 2. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso: 2. Expresa simblicamente estas relaciones: a 13 es un nmero natural. Designa simblicamente estos conjuntos: a Los nmeros enteros mayores que 5 y menores que 7 utiliza Z y el inter- valo abierto 5, 7.

Cules son los nmeros que forman el conjunto Q [0, 1]? Todos los irracionales comprendidos en el intervalo 0, 1. Unidad 1. Comprueba, pasando a fraccin, que los dos factores son decimales exactos. Por tanto, el punto D representa a. Qu nmeros representan los puntos F y H? Justifica tu respuesta. Nmeros reales 18 22 Efecta y simplifica, si es posible: a b c 3 d : En b y c puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, res- pectivamente.

Determina tambin, en cada caso, una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo. Pgina 49 62 Explica si estas frases son verdaderas o falsas: a Todo nmero entero es racional. Nmeros reales 30 64 Cules de estas igualdades son verdaderas? Por una propiedad de los logaritmos.

Qu puedes decir del signo de m y n en cada uno de estos casos? Dados los nmeros:. Nmeros reales 32 2. Escribe como potencia y simplifica.

Efecta, racionalizando previamente. Aplica las propiedades de los logaritmos y halla A. Calcula x en cada caso. Nmeros reales 34 Unidad 2. Cuntas parejas de conejos se producirn en un ao, comenzando con una pare- ja nica, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo mes?

Razonando del modo que se propone, llegamos a que el nmero de parejas, mes a mes, es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, As, el nmero total de parejas al final del ao es de la que haba al principio y otras nuevas. La sucesin de Fibonacci y el nmero F Si dividimos cada dos trminos consecutivos de la sucesin de Fibonacci, obtene- mos: 1 1 2 3 5 8 13 21 1 2 1,5 1,66 1,6 1, 1, Comprueba, calculando nuevos cocientes, que el nmero al que se aproximan es el nmero ureo.

A partir del tercero, el lado de cada uno de los siguientes cuadrados que se van formando es igual a la suma de los lados de los dos que le preceden. Cul es el lado del 8-? Y el del 9-? Observa tambin los rectngulos que se forman sucesivamente: Los cocientes entre sus dimensiones forman la sucesin que estudiamos en el apartado anterior.

Se aproximan, por tanto, al nmero F. Esto quiere decir que estos rectngulos se parecen, cada vez ms, a rectngulos ureos. Comprubalo para los cuatro siguientes rectngulos: 13 : 8 21 : 13 34 : 21 55 : 34 El lado del 8. Sucesiones 2 Pgina 52 1. Pgina 53 2. Cules de las siguientes sucesiones son progresiones aritmticas? En la sucesin 1a , halla el trmino a 20 y la suma de los 20 primeros trmi- nos.

Sucesiones 4 3. En la sucesin 1d , halla el trmino d 40 y la suma de los 40 primeros trmi- nos. En la sucesin 1e , halla el trmino e y la suma de los primeros trmi- nos. Cules de las siguientes sucesiones son progresiones geomtricas? Calcula la suma de los 10 primeros trminos de cada una de las progresiones geomtricas del ejercicio anterior. En cules de las progresiones geomtricas del ejercicio anterior puedes cal- cular la suma de sus infinitos trminos? Sucesiones 6 La sucesin no tiene lmite.

Pgina 61 1. Obtn los ocho primeros valores de a n trminos de la sucesin y de S n su- mas parciales en cada una de las progresiones siguientes. S n no tiene lmite. No es una progresin aritmtica.

Escribe tres trminos ms en cada una y tambin su trmino general. Calcula n y a 1. Calclalos sa- biendo que el mayor mide 13 cm y que el permetro vale 48 cm. Sucesiones 18 24 En un cine, la segunda fila de butacas est a 10 m de la pantalla y la sptima fila est a 16 m. En qu fila debe sentarse una persona que le guste ver la pantalla a una distancia de 28 m?

Tenemos que calcular a 4 y a 5. Sabemos que: Restando a la 2. Calcula a 5 y la expresin de a n. Si cost 4 millones de euros, en cunto se valorar despus de 10 aos de funcio- namiento? Cul ser el valor de nuestro dine- ro un ao despus? Cada mes el dinero se multipli- ca por 1, Al cabo de 1 mes tendremos 8 5 1, Al cabo de 2 meses tendremos 8 1, 2.

Calcula a 1 y la razn. Unidad 2. Calcula lo que tenemos que pagar cada ao. Si lo fuese, calcula el quinto trmino y la suma de los cinco primeros tr- minos. Cul es su lmite? Al ir multiplicando por sucesivamente, los trminos se van aproximando a cero. Cul es la diferencia en el primer caso? Y la razn en el segundo? Enuncia una propiedad que exprese los resultados anteriores. Te parece razonable el resultado obteni- do? Sucesiones 26 47 Inventa dos sucesiones cuyo lmite sea infinito y que, al dividirlas, la suce- sin que resulte tienda a 2.

Halla la ley de recurrencia por la que se forman las siguientes sucesiones: a 7, 8, 15, 23, 38, 61, b 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, c 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, Ante un saco de almendras, el dueo les dijo: Coged las que queris. Cada uno de los seis meti la mano en el saco un nmero n de veces y, cada vez, se llev n almendras es decir, si uno de ellos meti la mano en el saco 9 veces, cada vez cogi 9 almendras, y, por tanto, se llev 81 almendras.

Adems, cada padre cogi, en total, 45 almendras ms que su hijo. Antonio meti la mano 7 veces ms que Luis, y Julio, 15 ms que Pablo. Cmo se llama el hijo de Antonio? Y el de Juan? Cuntas almendras se llevaron entre todos? Como Antonio meti la mano 7 veces ms que Luis, Antonio cogi 9 puados y Luis 2 puados. Como Julio meti la mano 15 veces ms que Pablo, Julio cogi 22 puados y Pablo, 7 puados. Juan coge 23 puados y Julio Pablo se lleva 7 puados y Luis 2.

La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos sal- tos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre. Cuntos saltos dar cada uno hasta el momento de la captura? Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 u el galgo. Cada 2 2 saltos de galgo y 3 2 de liebre se acerca 2 u el galgo. Cada 2 3 saltos de galgo y 3 3 de liebre se acerca 3 u el galgo.

Cada 2 90 saltos de galgo y 3 90 de liebre se acerca 90 u el galgo. Pgina 71 1. Vuelve a intentarlo sabiendo que y son races suyas. El polinomio dado no tiene races enteras. Reduce previamente a comn denominador las fracciones algebraicas si- guientes, y smalas:. Cul es la distancia, x, de B a P?

Pgina 77 5. Resuelve por el mtodo de Gauss: a b 4. Unidad 3. Intenta resolver por el mtodo de Gauss: a b c d Las ecuaciones 2. Por tanto, el sistema es incompatible. Solo quedan dos ecuaciones. Resolvemos el sistema obteniendo y, z en funcin de x: 2. La segunda ecuacin no dice nada. No es una ecuacin. Por tanto, solo quedan dos ecuaciones, la 1. Por tanto, el sistema no tiene solucin.

Resuelve estos sistemas de inecuaciones: a b Obserevamos que las inecuaciones que forman ambos sistemas se han resuelto en el ejercicio anterior. Por tanto, las soluciones de la inecuacin son los puntos del intervalo [2, 2]. Ver apartado d del ejercicio anterior.

De las siguientes igualdades, cules son identidades? Son identidades a , c y d. Cuando el paso consista en obtener una expresin idntica a otra, seala cul es la expresin transformada, cul es la obtenida y qu operacin permite pa- sar de la una a la otra. Ha convenido ponerlo en forma polinmica para poder simplificar en el segundo miembro.

El sistema es incompatible, no tiene solucin. El sistema es compatible indeterminado. Por tanto, el sis- tema es incompatible. Hay dos ecuaciones iguales. Uno de los sistemas no tiene solucin.

Si la primera parte le produce anualmente ms que la segunda, cunto coloc en cada banco? Manando por separado, el primero tardara una hora ms que el segundo.

Cunto tardara en llenar el depsito cada grifo por separado? En el camino al mercado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio, aumenta en 0,45 el precio de la docena. Cuntas docenas tena al principio? Iguala el coste de las docenas que se rompen a lo que aumenta el coste de las que quedan.

Dese- cha 20 kg por defectuosas y vende el resto, aumentando 0,40 cada kilo so- bre el precio de compra, por Cuntos kilogramos compr? Iguala el coste de las que se desechan ms las ganancias al aumento de coste de las que quedan. Como dos no tienen dinero, los dems les invitan, de- biendo aumentar su aportacin en 0,80 cada uno.

Cuntos amigos son? Calcula las di- mensiones del rectngulo sabiendo que la base es el triple de la altura. Si el nmero de visitantes de enero super en 36 personas al de marzo, cuntas personas vieron la exposicin en enero?

Calcula el lado. Cul es la superficie de la habitacin? Si se invierte el orden de las cifras, se obtiene otro nmero 54 unidades menor. Calcula el nmero inicial. No s, nunca me he fijado. Pero hombre Cunto has pagado? Algo ms de 14 euros. El domingo pasado, adems de nosotros seis, invitaste a dos amigos m- os. Cunto pagaste? Era poco menos de 20 euros, pues puse un billete y dej la vuelta. Cunto vale el chocolate con churros en la cafetera de la esquina? Cmo lo hacemos?

Llamamos x a los euros que recibe la primera; y a los que recibe la segunda, y z a los que recibe la tercera. La cifra de las decenas es una unidad mayor que la suma de las otras dos. Si invertimos el orden de las cifras, el nmero aumenta en 99 unidades. Cul es ese nmero? Llamamos x a la cifra de las centenas, y a la de las decenas, y z a la de las uni- dades. En otra vasija la proporcin es de 2 a 3.

Cuntos cazos hemos de sacar de cada vasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporcin alcohol-agua sea de 3 a 5? Resuelve factorizando previamente.

La suma de las tres cifras de un nmero es igual a 7. Supongamos que el nmero es xyz. Hazlo t siguiendo este mtodo y sabiendo que: la vara mide cm, la sombra de la vara mide 37 cm, la sombra del rbol mide cm. Para solucionar este problema habrs utilizado la semejanza de dos tringulos.

Problema 2 Bernardo conoce la distancia a la que est del rbol y los ngulos y ; y quiere calcular la distancia a la que est de Carmen. Despus, mide la longitud del segmen- to BC y, deshaciendo la escala, obtendrs la dis- tancia a la que Bernardo est de Carmen. Resolucin de tringulos 2 Problema 3 Anlogamente puedes resolver este otro: Bernardo ve desde su casa el castillo y la abada. Conoce las distancias a am- bos lugares, pues ha hecho el camino a pie muchas veces; y quiere averiguar la distancia del castillo a la abada.

Para ello debe, previamente, medir el n- gulo. Datos: BC. Utiliza ahora la escala m 81 cm. Haz todos los clculos manteniendo los radicales. CBA Unidad 4. Hazlo, tambin, con calculadora.

Resolucin de tringulos 4 0,92 t s c 0,83 t s Unidad 4. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla y amplala para los ngulos , , , , , , y Aydate de la representacin de los ngulos en una circunferencia goniomtrica. Pgina 1. Halla las razones trigonomtricas del ngulo a Obteniendo la expresin del ngulo en el intervalo [0, Resolucin de tringulos 6 2. Es el co- ciente entero. Di el valor de las siguientes razones trigonomtricas sin preguntarlo a la cal- culadora.

Cmo es posible que diga que el ngulo cuya tangente vale 10 20 es 90 si 90 no tiene tangente? Es un ngulo que difiere de 90 una cantidad tan pequea que, a pesar de las mu- chas cifras que la calculadora maneja, al redondearlo da Averigua las razones trigonomtricas de , y , utilizando la calcu- ladora solo para hallar razones trigonomtricas de ngulos comprendidos en- tre 0 y Las siguientes propuestas estn referidas a tringulos rectngulos que, en to- dos los casos, se designan por ABC, siendo C el ngulo recto.

Calcula a. Calcula b. Calcula c. Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base y he- mos medido el ngulo que forma la visual al punto ms alto con la horizontal, obteniendo un valor de Cunto mide el poste?

Halla el rea de este cuadriltero. Sugerencia: Prtelo en dos tringulos. Calcula la longitud del lado c. Calcula la longitud del lado b. Estamos en A, medimos el ngulo bajo el que se ve el edificio 42 , nos alejamos 40 m y volvemos a medir el n- gulo Cul es la altura del edificio y a qu distancia nos encontramos de l?

La primera distancia es ,90 m, y ahora, despus de alejarnos 40 m, estamos a ,90 m. Si fuese un ngulo obtuso razonaramos como en el ejercicio anterior. Trazamos la altura h desde el vrtice B. Justifica grficamente por qu se obtienen, segn los casos, ninguna solucin, una solucin o dos soluciones. No tiene solucin. Son tringulos semejantes. Halla la altura a la que llega y la distancia que separa su base de la pared. Cunto miden las diagonales del rombo?

Con los datos de la figura, halla los ngulos del tringulo ABC. Resolucin de tringulos 27 4 UNIDAD m 40 55 A b B a C 15 Desde un punto P exterior a una circunferencia de 10 cm de radio, se tra- zan las tangentes a dicha circunferencia que forman estre s un ngulo de Calcula la distancia de P a cada uno de los puntos de tangencia.

Qu distancia hay entre cada uno de ellos y la iglesia? Qu distancia hay en- tre el cine y el kiosko? Desde un punto del suelo se ve el pedestal bajo un ngulo de 15 y la estatua, bajo un ngulo de Calcula la altura del pedestal. Las visuales des- de el avin a A y a B forman ngulos de 29 y 43 con la horizontal, respecti- vamente.

A qu altura est el avin? Resolucin de tringulos 34 28 Calcula los lados y los ngulos del tringulo ABC. Halla el ngulo. El tringulo AOB es issceles.

Estas direcciones forman con AB ngulos de 40 y A qu distancia de A y B se encuentra la emisora? Bajo qu ngulo se ve la portera desde ese punto?

Calcula los lados del tringu- lo ACD y su rea. Para hallar la otra diagonal, considera el tringulo ABD. Los dos tringulos en que la diagonal divide al paralelogramo son iguales. El primero sale a las 10 h de la maana con una velocidad de 17 nudos, y el segundo sale a las 11 h 30 min, con una velocidad de 26 nudos. Si el alcance de sus equipos de radio es de km, podrn ponerse en contac- to a las 3 de la tarde? La distancia que recorre cada uno en ese tiempo es: Barco A 8. NOTA: Puede calcularse.

Sean M y N los puntos donde esas perpendiculares cortan a la dia- gonal. Halla la longitud del segmento MN. MC en el tringulo BMC. Resolucin de tringulos 40 En :. Llamemos x e y a las medidas de la altura de las dos partes en que queda dividi- da la torre segn la figura dada; y llamemos z a la distancia de P a la torre. ABC Unidad 4. Resolucin de tringulos 41 4 UNIDAD 36 Calcula la altura de QR, cuyo pie es inaccesible y ms alto que el punto donde se encuen- tra el observador, con los da- tos de la figura.

Llamemos x a la distancia del punto ms alto a la lnea horizontal del observa- dor; y, a la distancia de la base de la torre a la misma lnea; y z, a la distancia. R'P, como se indica en la figura. Resolucin de tringulos 42 C 12 cm 7 cm A B. Traza el dimetro desde uno de los vrtices del tringulo ABC. A'BC Unidad 4. Solo hay una solucin. Podemos resolverlo con el teorema del coseno, como antes, o con el teorema del seno.

Luego la solucin no es vlida y, por tanto, concluimos que no hay ningn tringulo con esos datos. Las bases de un trapecio miden 17 cm y 10 cm, y uno de sus lados, 7 cm. El ngulo que forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no parale- los es de Calcula lo que mide el otro lado y el rea del trapecio.

Resolucin de tringulos 48 6. Un barco B pide socorro y se reciben sus seales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre s 50 km. A qu distancia de cada estacin se encuentra el barco? Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en la figura. Cunto dista el globo del punto A? Cunto del punto B? A qu al- tura est el globo?

BAC Unidad 4. Si un ngulo de corte es de 40, cunto valdr el lado del rombo? Funciones y frmulas trigonomtricas 1 Pgina 1. Aunque el mtodo para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la pgina siguiente, puedes resolverlas ahora: a Cuntos radianes corresponden a los de una circunferencia? Pasa a radianes los siguientes ngulos: a 30 b 72 c 90 d e f Expresa el resultado en funcin de y luego en forma decimal.

Completa la siguiente tabla y aade las razones trigonomtricas seno, coseno y tangente de cada uno de los ngulos. Te ser til para el prximo apartado: La tabla completa est en el siguiente apartado pgina siguiente del libro de texto.

Tan solo falta la ltima columna, que es igual que la primera. Demuestra la frmula II. Cal- cula, despus, a partir de ellas, las razones trigonomtricas de 49 y de 25, utilizando las frmulas I y II. Demuestra las tres frmulas III. Halla las razones trigonomtricas de 60 a partir de las de Halla las razones trigonomtricas de 90 a partir de las de Funciones y frmulas trigonomtricas 4 Pgina Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las frmu- las IV.

Averigua las razones trigonomtricas de 39 aplicando las frmulas del ngulo mitad. Funciones y frmulas trigonomtricas 6 Pgina Para demostrar las frmulas V. Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrs dos expresiones.

Funciones y frmulas trigonomtricas 8 2. Funciones y frmulas trigonomtricas Luego la ecuacin no tiene solucin. Exprsalos en fun- cin de y en forma decimal. Divide el numerador y el denominador por cos a cos b y simplifica. Pgina 26 En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ngulo central en grados y en radianes.

Funciones y frmulas trigonomtricas 28 27 En una determinada circunferencia, a un arco de 12 cm de longitud le co- rresponde un ngulo de 2,5 radianes. Cul es el radio de esa circunferencia?

Como x, y 1. Expresa en grados: rad, rad, 2 rad. En una circunferencia de 16 cm de dimetro dibujamos un ngulo de 3 rad. Qu longitud tendr el arco correspondiente? Su periodo es. Nmeros complejos 2 Pgina 1. Da un criterio para simplificar potencias de i de exponente natural. Cunto debe valer x, real, para que 25 xi 2 sea imaginario puro?

Expresa cos 3a y sen 3a en funcin de sen a y cos a utilizando la frmula de Moivre. Halla las seis races sextas de 1. Represntalas y exprsalas en forma binmica. Representa sus soluciones. Halla las otras tres races cuartas de z. Pon la ecuacin o inecuacin que caracteriza los siguientes recintos o lneas: Describe con palabras cada una de las familias son los nmeros complejos cuya parte real vale y da un representante de cada una de ellas.

Nmeros complejos Ex- prsalos en forma polar. El primero es opuesto del segundo. Cules son esos nmeros? La parte real del primero es 2, y el producto de ambos es un nmero real. Determinan el mismo tringulo los afijos de , o? Representa grficamente esos cuatro tringulos que has obtenido.

Si fueran las cuatro races cuartas de un nmero complejo, formaran entre ca- da dos de ellas un ngulo de 90; y ni siquiera forman el mismo ngulo, como ve- mos en la representacin grfica: 43 Halla los nmeros complejos que corresponden a los vrtices de estos he- xgonos: 1. En caso afirmativo, halla z. Comprueba si el ngulo que forman cada dos de ellas es el de un pentgono re- gular.

Halla los otros vrtices y el nmero complejo cuyas races quintas son esos vrtices. Para obtener los otros vrtices puedes multiplicar cada uno por 1 Halla z y las otras races cbicas. Mira el ejercicio resuelto 1 de la pgina Unidad 6.

Escribe z en forma binmica, smale su conjugado y representa la condicin que obtienes. Nmeros complejos 40 Representacin: 52 Representa los nmeros complejos que verifican: a.

Nmeros complejos 41 6 UNIDAD 53 Escribe las condiciones que deben cumplir los nmeros complejos cuya re- presentacin grfica es la siguiente: En a , b y f es una igualdad. En c y d , una desigualdad. En e , dos desigual- dades. No, tambin son reales los nmeros con argumento los negativos.

Aclralo con un ejemplo. Multiplcalo por i y comprue- ba que el resultado que obtienes es el mismo que si aplicas a z un giro de Se diferencian en Halla , e iguala a a bi. Halla los otros vrtices y la longitud de su lado. Qu figura se determi- na en cada caso? Calcula z y expresa los resultados en forma binmica. Calcula el valor que debe tomar x para que el mdulo de sea igual a 2. Halla el lado del tringulo cuyos vrtices son los afijos de las races cbicas de 4 4i.

Nmeros complejos 48 7. Representa grficamente. Halla dos nmeros complejos tales que su cociente sea 2 y su producto 18 Otra posible solucin es: 6 y 3 Demuestra que z z. Calcula cos y sen a partir del producto 1 90 1 Designa los vectores anteriores mediante pares de nmeros.

Por ejemplo: 2, 3 Repite con pares de nmeros las operaciones que has efectuado anteriormente. Realiza las mismas sumas con pares de nmeros. Vectores 2 Pgina 1.

Usa la calculado- ra. Dados los vectores y mediante sus coordenadas respecto a una base or- tonormal, 3, 4 , 1, 3 , halla: a y b , y c El valor de k para que 4, k sea perpendicular a. Tienen distinta direccin. Tienen la misma direccin y el mismo sentido.

Sus direcciones son perpendiculares: 2. Vectores 6 7 Los vectores , y los hemos obtenido operando con los vectores , ,. Qu operaciones hemos hecho en cada caso? Cules sern las coordenadas de esos vectores respecto a la base B ,?

Pgina 10 Escribe las coordenadas de los vectores , , , , con respecto a la base B ,. Las coordenadas de en la nueva base son 2, 3. Basta con representar- los grficamente para comprobarlo.

Producto escalar. Multiplica el resultado un nmero por el vector. Obtendrs un vector. Qu ngulo forman los vectores y?

Mira el problema resuelto nmero 4. Vectores Obtendrs una ecuacin cuya in- cgnita es k. Calcula 8 a 8 b. Mira el problema resuelto nmero 8. Mira el problema resuelto nmero 7. Vectores 18 40 Calcula x para que los vectores 8 a 7, 1 y 8 b 1, x formen un ngulo de En esa base las coordenadas de dos vectores son 8 x 1, 2 e 8 y 1, 1. Calcula 8 x 8 y. Mira el problema resuelto nmero 6. Cul es el ngulo que forman 8 a y 8 b?

Hay que probar que el producto escalar de ambos vectores es igual a 0. Vectores 22 52 Sean 8 a y 8 b dos vectores no nulos. Vector proyeccin de 8 a sobre 8 b. Se consideran los vectores 8 u 2, 6 y 8 v 1, 2.

Sean 8 u y 8 v dos vectores unitarios que forman un ngulo de Consideramos los vectores 0, 2 y 1,. Calcula: a Su producto escalar. Sea 8 u 3, k , calcula k de forma que: a 8 u sea ortogonal a 8 v 4, 6. Determina las coordenadas de un vector x, y que forme con el vector 1, 0 un ngulo de 60 y cuyo mdulo sea 2. Obtn un vector 8 u x, y ortogonal a 8 v 8, 6 y cuyo mdulo sea la mitad del de 8 v.

Calcula la proyeccin de 8 v sobre 8 u, siendo 8 u 2, 0 y 8 v 3, 1. Sean 8 a y 8 b dos vectores unitarios que forman un ngulo de Geometra analtica. Encuentras alguna relacin entre las coordenadas de M y las de P y Q? M 6, 4 Haz lo mismo con los segmentos de extremos: a P' 5, 1 , Q' 9, 7 b P'' 0, 1 , Q'' 10, 5 a M' 7, 4 b M'' 5, 3 Basndote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos.

Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento son la semisuma de las coordenadas de sus extremos. Dale a t los valores 2, 1, 0, 1, 2, 3, y representa los puntos correspondientes; com- probars que todos estn sobre la misma recta. Elimina el parmetro procediendo del siguiente modo: Despeja t en la primera ecuacin. Sustituye su valor en la segunda. Reordena los trminos de la ecuacin resultante. Obtendrs, as, la ecuacin de esa recta, en la forma habitual. Unidad 8. Problemas afines y mtricos 2 Distancias en el plano Halla la distancia de los puntos P y Q a las rectas r y s.

Halla, tambin, la distancia entre: a P' 0, 5 , Q' 12, 0 b P'' 3, 1 , Q'' 7, 4 Basndote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para hallar la dis- tancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas. Halla las coordenadas de y , siendo M 7, 5 y N 2, Averigua si estn alineados los puntos P 7, 11 , Q 4, 3 y R 10, Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas A 1, 7 B 3, 4 C k, 5 estn alineados.

Q' 2, Problemas afines y mtricos 6 Pgina 1. Halla la recta del haz de centro P 3, 5 que pasa por 8, 4.

Hemos de hallar la recta que pasa por P 3, 5 y Q 8, 4. Los haces de rectas cuyos centros son P 4, 0 y Q 6, 4 tienen una recta en comn. Cul es? Es la recta que pasa por P 4, 0 y Q 6, 4. Cul de las rectas de ese haz tiene pendiente 4? El centro del haz es el punto de corte de r y s. Escribe las ecuaciones paramtricas de dos rectas que pasen por P 4, 3 y sean paralela y perpendicular, respectivamente, a r.

Halla: a Las coordenadas de un vector paralelo a la recta r. Halla: a Ecuacin continua de una recta, r 1 , perpendicular a s que pase por P 1 5, 3. Determina las ecuaciones implcitas de dos rectas que pasen por P 3, 4 y sean paralela y perpendicular, respectivamente, a r.

Recta s paralela a r que pasa por P 3, 4. Problemas afines y mtricos 10 Pgina 1. Halla tambin las distancias de cada uno de los puntos a cada recta. Hay otra forma ms sencilla? Debe ocurrir que y sean proporcionales. Halla B. H es el punto medio entre P y su simtrico. Sea P x, y. Sea D x, y. Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son los vectores de la base.

Problemas afines y mtricos 18 Pgina 16 Dada la recta r: , escribe las ecuaciones en forma explcita de las siguientes rectas: a Paralela a r que pasa por A 1, 3. En forma paramtrica. En forma continua. La recta pasa por el punto 0, 2. Veamos primero cul es el punto de corte, P x, y , de la recta con el eje de or- denadas.

Adems, A 1, 3 s. Halla la recta s en cada caso: a s es paralela a la recta r y pasa por el origen de coordenadas. Halla la ecuacin de la recta de dicho haz de pendiente 2. Como P 1, 3 s y P r, las rectas son paralelas. No es necesario que apliques ninguna frmula.

Sabes que la pendiente de r es la tangente del ngulo que forma r con el eje de abscisas. Halla el ngulo con la pendiente de r. El ngulo pedido es el complementario del ngulo que la recta forma con el eje de abscisas.

Las coordenadas de P deben verificar la ecuacin de r. As calculas m. Expre- sa tg 45 en funcin de las pendientes de r y s para obtener n. O bien mira el problema resuelto nmero 3. Problemas afines y mtricos Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. Hay dos soluciones. Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distan- cia a r'. Por tanto: s : t : Pasa por los puntos 1, 0 y 3, 2.

Halla la ecuacin de la mediatriz de AB. Despus de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa y opuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuacin. Escribe las coordenadas de y de , y obtn P. Q es el punto medio de. As, ' 2 el vector direccin de s, , tambin es perpendicular a 2 , luego podemos tomar 1, 2.

Problemas afines y mtricos 36 56 En el tringulo de vrtices A 1, 1 , B 2, 4 y C 4, 1 , halla las longitudes de la mediana y de la altura que parten de B. Sean r 1 , r 2 y r 3 las tres rectas del ejercicio, respectivamente. Halla las coordenadas de C y el rea del tringulo. Halla la pendiente de r. Obtendrs dos soluciones. Represntalo y halla sus ngulos. Representa el tringulo y observa si tiene algn ngulo obtuso. La recta que buscamos forma un ngulo de 60 o de con el eje OX.

La recta r forma un ngulo de 60 o de con el eje OX. Halla las ecuaciones de los lados del ngulo. Halla las coordenadas de los vrtices A y C y el rea del rombo. Adems, AC 2 BD. El ortocentro es el punto de interseccin de las alturas. El circuncentro es el pun- to de interseccin de las mediatrices. Basta con sustituir en su ecuacin. Halla las coordenadas del otro extremo. Halla: a Los otros dos vrtices. Halla los otros vrtices. El vrtice que nos dan, C 6, 0 , no pertenece a ninguna de las rectas anteriores pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fcilmente sustitu- yendo los valores de x e y por las coordenadas de C.

As pues, el vrtice C no es consecutivo de A. Se trata de las rectas sobre las que estn los otros la- dos. El punto que bus- camos est a 3 unidades de PO y en la recta dada. La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector direccin 4, 0 y pasa por 0, 0. Prueba que el cuadriltero ABCD es un trape- cio issceles y halla su rea. Mira el problema resuelto nmero 1. Halla su rea. Cules son las coorde- nadas de P? La altura de los tres tringulos es igual a la distancia de B al lado AC.

Por tan- to, tendrn la misma rea si tienen la misma base. Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo: A 2, 3 y B 5, 5. Ten en cuenta que los puntos A y B verifican la ecuacin de la recta. Halla los otros vrtices y la longitud de la diagonal. Teorema de Bolzano Hazlo t. Lmite finito Calcular el valor de a para que el siguiente lmite sea finito y obtener ese lmite:. La funcin es continua cuando x 1 porque las funciones que intervienen son continuas al ser funciones polinmicas.

Para que exista el lmite, los lmites laterales deben ser iguales. Continuidad en un punto Dada la siguiente funcin: 2. Re- presntalas para el valor de k obtenido:. Cuando x 0 y x 1 la funcin es continua porque las funciones que intervienen lo son. Cuando x 2 y x 2 la funcin es continua porque la funcin que interviene lo es. La funcin es continua cuando x 1 y x 2.

La funcin es continua cuando x 2 y x 3. Veamos el tipo de discontinuidad en cada valor. La funcin es continua cuando x 0 ya que est definida mediante funciones continuas en su do- minio. La funcin es continua cuando x 15 y x 30 ya que est definida mediante funciones continuas. La discontinuidad es inevitable de salto infinito. Alguna es continua en todo? La funcin es continua cuando x 0 porque est definida por intervalos mediante funciones conti- nuas en los mismos.

La funcin es continua en l. Tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito. Para que la funcin sea continua para x 1, es una funcin continua , tenemos que:. Contradice el teorema de Bolzano?

Razona la respuesta. Veamos si se cumplen las hiptesis. Interpretacin geomtrica: Si una funcin continua toma valores con distinto signo en los extremos del intervalo [a, b], su gr- fica atravesar el eje X cortndolo por lo menos en un punto.

Podemos asegurar que dicha funcin toma todos los valores del intervalo [1, 5]? En caso afirmativo, enuncia el teorema que lo justifica. Consideremos la funcin f x definida en el intervalo [0, 2]. La funcin es continua en todo , y, en particular, en el intervalo estudiado. Es decir, signo de g 1 signo de g 9. Justifica la respuesta.

Como la funcin es continua, el lmite cuando x 3 existe y, por tanto, los lmites laterales deben ser iguales. El valor c es una raz real de la ecuacin dada. No podemos asegurarlo porque 7 [3, 5]. La funcin es continua. Haz una grfica para que el resultado sea evidente. Tenemos que: g x es continua en [0, 1], pues es la diferencia de dos funciones continuas en [0, 1]. En este caso, en los puntos que anulan su denominador. Cuando x 2 y x 0 la funcin es continua porque las funciones que intervienen lo son.

Para que el lmite pueda existir, el numerador debe tender a 0 cuando x 0, ya que eso es lo que ocurre con el denominador. Cerrar sugerencias Buscar Buscar. Saltar el carrusel. Carrusel anterior. Carrusel siguiente. Explora Audiolibros. Explora Revistas. Explora Podcasts Todos los podcasts. Dificultad Principiante Intermedio Avanzado. Explora Documentos. Cargado por Allahu Akbar. Compartir este documento Compartir o incrustar documentos Opciones para compartir Compartir en Facebook, abre una nueva ventana Facebook.

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